کلاس تخصصی المپیاد زیست شناسی، کمپبل تابستان 99 لینک خبرها

آزمون: شمارش، بدون شمردن 3 (پیشرفته)

شمارش، بدون شمردن 3 (پیشرفته)

آزمون آنلاینی که در آن شرکت می‌کنید، آزمون آنلاین ریاضی فصل "شمارش بدون شمردن" از ریاضی دهم و در سطح پیشرفته می باشد. در این آزمون ریاضی دهم، با یک آزمون ویژه دانش آموزان مستعد و برتر (مانند دانش آموزان مدارس سمپاد و مدارس برتر کشور) مواجه می شوید. آماده اید؟ پس خودتون رو برای این آزمون آنلاین ریاضی و یک چالش خوب دعوت کردید. شروع کنید!

درضمن، سوالات این آزمون، از سوالات سطح پیشرفته ریاضی کنکورهای آزمایشی سال های پیش انتخاب شده اند.

جایگشت

هر زمانی که از قرار دادن چند شی در کنار هم صحبت می‌کنیم، در حقیقت داریم از جایگشت حرف می‌زنیم. این اشیا می‌توانند در یک ردیف یا صف، دور یک دایره یا موارد دیگر کنار هم قرار بگیرند. به هر نوع از قرار گرفتن چند شیء در یک صف، یک جایگشت خطی می‌گوییم. برای مثال، صف قرار گیری ماشین‌ها در پمپ بنزین و ساخت یک عدد با استفاده از کنار هم قرار دادن چند رقم.

فرض کنید می‌خواهیم n نفر (به عنوان n شی متمایز!) را در یک صف قرار دهیم و می‌خواهیم بدانیم به چند طریق می‌توان این کار را انجام داد. برای شمردن تعداد راه‌های انجام این کار، طبیعی است که n جایگاه را در نظر بگیریم و بررسی کنیم که در هر جایگاه چند نفر می‌توانند قرار بگیرند. یعنی برای قرار گیری یک فرد در هر جایگاه چند انتخاب وجود دارد. در جایگاه اول چند نفر می‌توانند قرار بگیرند؟ n نفر داریم که هر کدام می‌توانند انتخابی برای این کار باشند. پس برای انجام این کار، n انتخاب وجود دارد و به n حالت می‌توان انتخاب کرد که چه کسی در این جایگاه بنشیند؟ برای جایگاه دوم چطور؟ از n نفر اولیه، 1 نفر در جایگاه اول نشسته است. پس در جایگاه دوم، n-1 نفر می‌توانند بنشینند، یعنی n-1 انتخاب داریم. (دقت کنید، فردی که در جایگاه اول نشسته است، دیگر نمی‌تواند در جایگاه دوم نیز قرار بگیرد.) اگر به همین ترتیب ادامه دهیم، برای نفر آخر صف، یک انتخاب بیشتر وجود ندارد. پس طبق اصل ضرب، پاسخ این مسئله برابر !n×(n1)×(n2)×...×1=n می‌باشد. توصیه می‌کنبم جهت مطالعه‌ی بیشتر و دیدن چند مثال، قبل از شروع امتحان توضیحات جایگشت را در این مقاله بخوانید.

ترکیب چیست؟

ترکیب در حوزه ریاضیات مفهوم نزدیکی با جایگشت دارد. یک جایگشت تعداد حالات چیده شدن تعدادی معین از اعضای یک مجموعه در مکان‌هایی معین است، در حالی که یک ترکیب تعداد حالات انتخاب تعدادی معین از اعضای یک مجموعه (و بدون اهمیت نسبت به ترتیب آن‌ها) است. ترکیب r از n، برابر تعداد روش‌های انتخاب r شیء از n شیء متمایز است. ترکیب r از n با نمادهای  نشان داده می‌شود. در زبان انگلیسی، به انتخاب combination می‌گویند. به ترکیب r شی از n شی، انتخاب هم می‌گویند. برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم از حروف a, b, c, d دو حرف را انتخاب کنیم. این انتخاب قطعا یکی از حالات زیر است:

{a, b},{a, c},{a, d},{b, c},{b, d},{c, d}
در نتیجه، به وضوح انتخاب 2 از 4، برابر 6 است. به راحتی می‌توانید بررسی کنید که تساوی‌های  برقرار است. تفاوت انتخاب r از n با جایگشت r از n چیست؟ در جایگشت (تبدیل) r از n، ترتیب اعضایی که انتخاب می‌کنیم نیز مهم است و اعضای انتخابی، ترتیب دارند اما در انتخاب (ترکیب) r از n، ترتیب اعضایی که انتخاب می‌کنیم مهم نیست و تنها مهم است هر عضو انتخاب می‌شود یا نمی‌شود. برای مثال، همان مسئله‌ی انتخاب ۲ حرف از ۴ حرف که در بالا آمد را در نظر بگیرید. برای تعداد جایگشت‌های 2 حرف از 4 حرف a,b,c,d حالت‌های ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc وجود دارد. پس تعداد جایگشت‌های 2 از 4 برابر 12 است. در واقع به ازای هر انتخاب x,y از حروف کلمه، ۲ حالت برای جایگشت آن ۲ حرف وجود دارد (xy, yx). در نتیجه به صورت کلی می‌شود به راحتی نتیجه گرفت تعداد جایگشت‌های r شی از n شی، !r بار بیشتر از تعداد انتخاب‌های r شی از n شی است، زیرا در جایگشت ابتدا r شی از n شی را انتخاب و سپس به !r طریق می‌توان جایگشت داد. درنتیجه به وضوح به رابطه‌ی انتخاب r شی از n شی می‌رسیم، یعنی داریم . با توجه به تعریف انتخاب و همینطور با توجه به رابطه‌ی اخیر، تساوی‌های زیر واضح هستند:
 

تعداد سؤالات تعداد گزینه‌ها نمره‌ی منفی؟ مدت زمان آزمون (دقیقه) قیمت آزمون تاریخ ایجاد
10 4 دارد 25 رایگان 1399/05/06