کلاس های VIP پایه دهم تابستان 99 لینک خبرها

آزمون: عددهای اول 1 (پیشرفته)

عددهای اول 1  (پیشرفته)

آزمون آنلاینی که در آن شرکت می‌کنید، آزمون آنلاین ریاضی فصل "عددهای اول" ریاضی هشتم و در سطح پیشرفته می باشد. در این آزمون آنلاین ریاضی مقطع هشتم، با یک آزمون ویژه دانش آموزان مستعد و برتر (مانند دانش آموزان مدارس سمپاد و مدارس برتر کشور) مواجه می شوید. آماده اید؟ پس خودتون رو برای این آزمون آنلاین ریاضی و یک چالش خوب دعوت کردید. شروع کنید!

راستی، سوالات آزمون به انتخاب آقای سینا رضایی زارعی دارنده مدال برنز چهانی المپیاد ریاضی بوده است.

در زیر می توانید خلاصه ای از درسنامه فصل دوم کتاب ریاضی هشتم، عددهای اول را مشاهده نمایید.

اعداد اول

به اعدادی که جز خود و 1 شمارنده دیگری نداشته باشند، اعداد اول گویند. به عنوان مثال عدد 5 اول است زیرا تنها شمارنده (مقسوم علیه) های آن 1 و 5 است، یعنی تنها بر 1 و 5 بخش پذیر است.

اعداد مرکب

اعدادی را که جز خود و 1 حداقل یک شمارنده دیگر داشته باشند، مرکب گویند. به عنوان مثال عدد 15 مرکب است زیرا علاوه بر خود و 1 بر 3 و 5 هم بخش پذیر است. یعنی 4 شمارنده (مقسوم علیه) دارد.

  • عدد 1 نه اول است نه مرکب.
  • اگر بتوان یک عدد را به صورت حاصلضرب دو عدد طبیعی بزرگتر از یک نوشت، آن عدد مرکب است در غیر اینصورت عدد اول است. به عنوان مثال عدد 11 را نمی توان به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگتر از 1 نوشت بنابراین اول است.

تجزیه اعداد

هر عدد بزرگتر از یک را می توان به صورت حاصل ضرب اعداد اول سازنده اش تجزیه کرد، که به این اعداد اول "عوامل آن عدد" یا "عوامل اول آن عدد" می گویند.

نمودار درختی

برای تجزیه اعداد به اعداد اول از نمودار درختی کمک می گیرند. به عنوان مثال به شکل زیر دقت کنید:

مضرب های طبیعی یک عدد

اگر تمام اعداد طبیعی را در یک عدد ثابت ضرب کنیم، به مجموعه به دست آمده مضرب های طبیعی آن عدد می گویند. به عنوان مثال اعداد 4، 8، 12، 16، 20 ... مضارب طبیعی عدد 4 هستند.

  • تمام مضرب های یک عدد اول، مرکب هستند بجز خود عدد و تمام مضرب های طبیعی یک عدد مرکب، مرکب هستند.

نسبت به هم اول بودن دو عدد

دو عدد را نسبت به هم اول گویند، اگر ب.م.م آنها برابر عدد 1 باشد. به عنوان مثال اعداد 2 و 1 نسبت به هم اولند زیرا ب.م.م (بزرگترین مقسوم علیه مشترک) آن ها برابربا 1 است.

  • هر دو عدد اول دلخواه نسبت به هم اولند.
  • هر دو عدد طبیعی متوالی دلخواه نسبت به هم اولند.
  • ممکن است دو عدد مرکب نسبت به هم اول باشند.
  • اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، ک.م.م (کوچکترین مضرب مشترک ) آنها برابر با حاصل ضربشان است.

تعیین اعداد اول

برای تعیین اعداد اول از روش غربال اراتستن استفاده می کنیم. روش غربال بدین صورت است که مثلا برای تعیین اعداد اول از 1 تا 100، همه اعداد را می نویسیم و عدد 1 و تمام اعداد مرکب را خط می زنیم در نتیجه اعداد باقیمانده اول هستند.

  1. روش حل (الگوریتم غربال اراتستن) روش غربال اراتستن بدین صورت است:
    عدد 1 را خط می زنیم.
  2. تمام مضارب بزرگتر از عدد خط نخورده بعدی که عدد اول 2 است را خط میزنیم، بعد از 2، عدد اول خط نخورده بعدی 3 است که تمام مضارب بزرگتر از خودش را خط می زنیم.
  3. روال مرحله 2 را برای اعداد اول خط نخورده بعدی ادامه می دهیم تا به انتها برسیم.

اعداد خط نخورده باقیمانده اعداد اول هستند. دقت کنید الگوریتم فوق را در گام 3 تا جایی هم می توان انجام داد به عدد اولی برسیم که مجذور آن در بین اعداد نوشته شده نباشد. این همان نتیجه را می دهد.

نتیجه مفید روش غربال برای تعیین اول بودن یا نبودن عددی دلخواه

برای تعیین اول یا مرکب بودن یک عدد، عدد داده شده را به اعداد اول کوچکتر یا مساوی جذر عدد داده شده تقسیم می کنیم، اگر بر یکی از آنها بخش پذیر باشد عدد داده شده مرکب است و اگر بر هیچ یک از آنها بخش پذیر نباشد، عدد داده شده اول است.

تعداد سؤالات تعداد گزینه‌ها نمره‌ی منفی؟ مدت زمان آزمون (دقیقه) قیمت آزمون تاریخ ایجاد
13 4 دارد 90 رایگان 1399/02/08