کلاس تخصصی المپیاد زیست شناسی، کمپبل تابستان 99 لینک خبرها

آزمون: چند ضلعی ها 1 (پیشرفته)

چند ضلعی ها 1  (پیشرفته)

آزمون آنلاینی که در آن شرکت می‌کنید، آزمون آنلاین ریاضی فصل "چند ضلعی ها" ریاضی هشتم و در سطح پیشرفته می باشد. در این آزمون آنلاین ریاضی مقطع هشتم، با یک آزمون ویژه دانش آموزان مستعد و برتر (مانند دانش آموزان مدارس سمپاد و مدارس برتر کشور) مواجه می شوید. آماده اید؟ پس خودتون رو برای این آزمون آنلاین ریاضی و یک چالش خوب دعوت کردید. شروع کنید!

راستی، سوالات آزمون به انتخاب آقای سینا رضایی زارعی دارنده مدال برنز چهانی المپیاد ریاضی بوده است.

در زیر می توانید خلاصه ای از درسنامه فصل سوم کتاب ریاضی هشتم، چند ضلعی ها را مشاهده نمایید.

چند ضلعی

در صفحه (صفحه کتاب) به هر خط شکسته بسته چند ضلعی می گویند، به شرط آنکه ضلع ها همدیگر را قطع نکند مگر در راس ها که دو ضلع به هم می رسند.

چند ضلعی منتظم

اگر در یک چند ضلعی همه زاویه ها با هم و همه ضلع ها با هم مساوی باشند، می گوییم آن چند ضلعی منتظم است، به عنوان مثال مربع و مثلث متساوی الاضلاع چهارضلعی و سه ضلعی منتظم هستند.

چند ضلعی محدب (کوژ)

به چند ضلعی گفته می شود که زاویه بیشتر از 180 درجه نداشته باشد.

چند ضلعی مقعر (کاو)

چند ضلعی ای را گویند که حداقل یک زاویه اش بیشتر از 180 درجه باشد.

خط تقارن (محور تقارن)

قرینه یک شکل یا تصویر نسبت به خط تقارن را در سال های قبل یاد گرفتیم، اکنون می خواهیم خط تقارن یک شکل در صورت وجود را پیدا کنیم، یعنی خطی در درون شکل طوری رسم کنیم که بتواند شکل را به دو قسمت برابر (هم نهشت) و قرینه هم تبدیل کند.

خط های تقارن چند ضلعی های منتظم

سه ضلعی منتظم (مثلث متساوی الاضلاع) که در بالا مشاهده کردیم، 3 خط تقارن دارد، مربع (چهار ضلعی منتظم)، 4 خط تقارن دارد، به همین ترتیب پنج ضلعی منتظم، 5 خط تقارن دارد، در نتیجه به اندازه تعداد اضلاع چند ضلعی منتظم، خط تقارن برای آن وجود دارد. یعنی یک n ضلعی منتظم n خط تقارن دارد.

خط تقارن مثلث متساوی الساقین

در بالا اشاره کردیم که خط تقارن یک شکل، آن را به دو قسمت هم نهشت با هم تبدیل می کند، یعنی اگر از خط تقارن کاغذ را تا کنیم دو قسمت شکل روی هم می افتند. مثلث متساوی الساقین تنها یک خط تقارن دارد که وسط قاعده را به راس روبروی آن وصل می کند.

نکات مربوط به مثلث متساوی الساقین

خط تقارن عمود منصف، ارتفاع و نیمساز زاویه راس است. زاویه های قاعده مثلث متساوی الساقین با همدیگر برابرند.

مرکز تقارن

همچون خط تقارن، سالهای قبل قرینه یک شکل نسبت به یک نقطه معروف به مرکز تقارن را خواندیم، که روال کار بدین صورت بود شکل را نسبت به آن نقطه 181 درجه دوران می دادیم به عبارت دیگر قرینه نسبت به یک نقطه همان دوران 180 درجه است. حال می خواهیم در صورت وجود مرکز تقارن اشکال را پیدا کنیم، یعنی اگر شکل را 180 درجه نسبت به مرکز تقارنش دوران دهیم بر روی خودش منطبق شود.

  • مستطیل مرکز تقارن دارد که از محل برخورد قطرهای آن به دست می آید.
  • مثلث متساوی الاضلاع مرکز تقارن ندارد، یعنی هیچ نقطه در درون مثلث متساوی الاضلاع نمی توان پیدا کرد که اگر نسبت به آن نقطه 180 درجه دوران دهیم مثلث را برخودش منطبق کند.
  • متوازی الاضلاع مرکز تقارن دارد که از برخورد قطرهای متوازی الاضلاع به دست می آید.
  • اگر روی شکلی که مرکز تقارن دارد نقطه ای را در نظر بگیریم، قرینه آن نسبت به مرکز تقارن روی خود شکل قرار می گیرد. از این نکته می توان برای تشخیص مرکز تقارن نبودن یک نقطه در درون اشکال استفاده کرد.

مرکز تقارن داشتن در چند ضلعی های منتظم

اگر در چند ضلعی های منتظم تعداد اضلاع فرد باشد، مرکز تقارن وجود ندارد و اگر تعداد اضلاع زوج باشد مرکز تقارن وجود دارد که از برخورد اقطار چند ضلعی های منتظم به وجود می آید.

  • می دانیم که بعضی از اشکال مرکز تقارن ندارند ولی همانطور که در بالا اشاره کردیم ممکن است یک شکل و یک نقطه به عنوان مرکز تقارن داده شده باشد و قرینه شکل مورد سوال باشد. که باید شکل را 180 درجه نسبت به مرکز تقارن در جهت عقربه های ساعت یا خلاف عقربه های ساعت دوران دهیم.

خط های موازی

اگر دو خط L و K همدیگر را قطع نکند در این صورت موازی می شوند و با نماد L||K نمایش می دهند.

  • اگر خطی یکی از دو خط را با زاویه های مساوی قطع کند، در این صوت آن دو خط موازیند.

خط های عمود بر هم

اگر دو خط L و K با یکدیگر زاویه 90 درجه بسازند، در این صورت بر هم عمود می شوند و با نماد L⊥K نمایش می دهند.

قانون زد (Z)

همچنین اگر خطی یکی از دو خط موازی را قطع کند، در این صورت زاویه های که دو خط را قطع می کند با همدیگر برابر هستند. به این قانون، قانون Z می گویند.

نکاتی مهم در مورد توازی و عمود بودن خطوط

  • دو خط عمود بر یک با هم موازیند.
  • دو خط موازی با یک خط، خود با هم موازیند.
  • اگر خطی بر یکی از دو خط موازی عمود شود، بر دیگری هم عمود می شود.

متوازی الاضلاع

اگر ضلع های روبروی یک چند ضلعی با هم موازی باشند به آن متوازی الاضلاع گویند.

ویژگیهای اساسی متوازی الاضلاع

  • در هر متوازی الاضلاع قطرها همدیگر را نصف می کنند.
  • در هر متوازی الاضلاع زاویه های روبرو با همدیگر برابر هستند.
  • در هر متوازی الاضلاع اضلاع روبرو با همدیگر برابر هستند. 
  • در هر متوازی الاضلاع زاویه های مجاور مکمکل همدیگر هستند.
  • برای بهتر فهمیدن ویژگی های بالا می دانیم که متوازی الاضلاع مرکز تقارن دارد، پس اگر یک متوازی الاضلاع را نام گذاری کنیم بعد 180 درجه نسبت به مرکز تقارنش دوران دهیم روی خودش می افتد و می توانیم تمام ویژگیهای بالا را از این هم نهشتی نتیجه بگیریم.

مستطیل

متوازی الاضلاعی است که زاویه های آن همگی برابر و قائمه اند.

  • قطرها با همدیگر برابر هستند.
  • تمام زاویه ها برابر و قائمه اند.

لوزی

متوازی الاضلاعی است که همه ضلع های آن برابر هستند.

  • قطرها بر همدیگر عمود و منصف یکدیگر هستند.
  • قطرها نیمساز زاویه ها هستند.

مربع

متوازی الاضلاعی است که همه ضلع ها برابر و همه زاویه ها برابر و قائمه اند.

  • تمام خواص لوزی و مستطیل را داراست.

تعریف زاویه های داخلی

زاویه های که در درون یک چند ضلعی قرار دارند، زاویه های داخلی آن چند ضلعی نامیده می شوند.

مجموع زاویه های داخلی یک چند ضلعی

می دانیم که مجموع زاویه های داخلی یک مثلث برابر با 180 درجه است. با استفاده از این اصل می توانیم مجموع زاویه های داخلی هر چند ضلعی دلخواه را پیدا کنیم، بدین صورت که با رسم قطرهای مشخص از چند ضلعی تعداد مثلث های موجود در چند ضلعی را پیدا می کنیم، سپس تعداد مثلث ها را در عدد 180 (مجموع زاویه های داخلی مثلث) ضرب می کنیم. در نهایت مجموع زوایای داخلی یک n ضلعی برابر با مقدار زیر می شود.

180×(n-2)

به عنوان مثال مجموع زاویه های داخلی هر چهار ضلعی برابر با 360 درجه است.

تعریف زاویه خارجی

زاویه ای که در هر راس یک چند ضلعی محدب، بین یک ضلع و امتداد ضلع دیگر تشکیل می شود، زاویه خارجی نام دارد. به راحتی می توانید ثابت کنید مجموع زوایای خارجی یک n ضلعی همیشه برابر 360 درجه است.

  • واضح است که مجموع هر زاویه داخلی با زاویه خارجیش برابر 180 درجه است، یعنی زاویه داخلی و خارجی مکمل یکدیگرند.
  • در هر مثلث اندازه هر زاویه خارجی برابر با مجموع اندازه دو زاویه داخلی غیر مجاور آن است.

تعداد سؤالات تعداد گزینه‌ها نمره‌ی منفی؟ مدت زمان آزمون (دقیقه) قیمت آزمون تاریخ ایجاد
14 4 دارد 100 رایگان 1399/02/08