آزمون: انتخاب 2 (پیشرفته)

انتخاب 2 (پیشرفته)

ترکیب چیست؟

ترکیب در حوزه ریاضیات مفهوم نزدیکی با جایگشت دارد. یک جایگشت تعداد حالات چیده شدن تعدادی معین از اعضای یک مجموعه در مکان‌هایی معین است، در حالی که یک ترکیب تعداد حالات انتخاب تعدادی معین از اعضای یک مجموعه (و بدون اهمیت نسبت به ترتیب آن‌ها) است. ترکیب r از n، برابر تعداد روش‌های انتخاب r شیء از n شیء متمایز است. ترکیب r از n با نمادهای  نشان داده می‌شود. در زبان انگلیسی، به انتخاب combination می‌گویند. به ترکیب r شی از n شی، انتخاب هم می‌گویند. برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم از حروف a, b, c, d دو حرف را انتخاب کنیم. این انتخاب قطعا یکی از حالات زیر است:

{a, b},{a, c},{a, d},{b, c},{b, d},{c, d}
در نتیجه، به وضوح انتخاب 2 از 4، برابر 6 است. به راحتی می‌توانید بررسی کنید که تساوی‌های  برقرار است. تفاوت انتخاب r از n با جایگشت r از n چیست؟ در جایگشت (تبدیل) r از n، ترتیب اعضایی که انتخاب می‌کنیم نیز مهم است و اعضای انتخابی، ترتیب دارند اما در انتخاب (ترکیب) r از n، ترتیب اعضایی که انتخاب می‌کنیم مهم نیست و تنها مهم است هر عضو انتخاب می‌شود یا نمی‌شود. برای مثال، همان مسئله‌ی انتخاب ۲ حرف از ۴ حرف که در بالا آمد را در نظر بگیرید. برای تعداد جایگشت‌های 2 حرف از 4 حرف a,b,c,d حالت‌های ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc وجود دارد. پس تعداد جایگشت‌های 2 از 4 برابر 12 است. در واقع به ازای هر انتخاب x,y از حروف کلمه، ۲ حالت برای جایگشت آن ۲ حرف وجود دارد (xy, yx). در نتیجه به صورت کلی می‌شود به راحتی نتیجه گرفت تعداد جایگشت‌های r شی از n شی، !r بار بیشتر از تعداد انتخاب‌های r شی از n شی است، زیرا در جایگشت ابتدا r شی از n شی را انتخاب و سپس به !r طریق می‌توان جایگشت داد. درنتیجه به وضوح به رابطه‌ی انتخاب r شی از n شی می‌رسیم، یعنی داریم . با توجه به تعریف انتخاب و همینطور با توجه به رابطه‌ی اخیر، تساوی‌های زیر واضح هستند:
 

تعداد سؤالات تعداد گزینه‌ها نمره‌ی منفی؟ مدت زمان آزمون (دقیقه) قیمت آزمون تاریخ ایجاد
8 5 دارد 50 رایگان 1398/12/01