کلاس تخصصی المپیاد زیست شناسی، کمپبل تابستان 99 لینک خبرها

آزمون: چندضلعی‌ها 1 (مقدماتی)

چندضلعی‌ها 1 (مقدماتی)

در این آزمون با 22 سوال از فصل 3 کتاب هندسه دهم، مبحث چند‌ضلعی‌ها و مساحت روبه‌رو خواهید شد. سطح آزمون سخت نیست!

در هندسه، چندضلعی به شکلی دوبعدی در صفحه گفته می‌شود که با مسیری بسته شامل تعداد متناهی خطوط راست ساخته شده باشد. مثلث، مربع، و پنج‌ضلعی نمونه‌ای از چند ضلعی‌ها هستند. اگر همه اضلاع یک چندضلعی با هم برابر باشند آن چند ضلعی را چندضلعی منتظم گویند. کم‌ضلع‌ترین چندضلعی، سه‌ضلعی یا مثلث نام دارد. در یک چندضلعی منتظم، ضلع‌ها طول مساوی دارند و اندازه زوایای داخلی نیز مساوی است. هر اندازه که شمار اضلاع یک چندضلعی منتظم بیشتر باشد، شباهت بیشتری به دایره دارد. در چند ضلعی‌های منتظم با تعداد اضلاع زوج، ضلع‌های روبرو با هم موازیند. در هر چندضلعی منتظم با تعداد اضلاع فرد، عمود منصف هر ضلع، نیمساز زاویه مقابل به آن ضلع است. دقت کنید این عمود منصف (یا نیمساز) محور تقارن آن چند ضلعی نیز است.

خلاصه ای از نکات ساده درس چندضلعی ها

تعریف

چندضلعى شکلى است شامل n  پاره خط متوالى (𝑛≥3) كه هر پاره خط دقیقا دو پاره خط دیگر را در نقاط انتهایی خودش قطع كند. هر دو پاره خط كه در یک انتها مشترک اند، روى یک خط نباشند.

  • هرگاه دو چند ضلعی با نسبت تشابه k متشابه باشند، نسبت محیط های آنها،مساوی k و نسبت مساحت های آن ها برابر با k2 است.
  • هر دو n ضلعی منتظم، همواره با هم متشابه اند.
  • در هر مثلث قائم الزاویه،اندازه میانه وارد بر وتر، نصف وتر است. برعکس این قضیه نیز صادق است، یعنی گر در مثلثی اندازه میانه وارد بر یک ضلع، نصف ان وتر باشد،آن مثلث قائم الزاویه است.

قطر چندضلعی

در هر n ضلعی، هر پاره خط را كه دو انتهاى آن، دو رأس غیرمجاور باشند،قطر می نامند.

چند ضلعی محدب

n ضلعى را محدب گوییم؛ هرگاه با درنظر گرفتن خط شامل هر ضلع آن، بقیۀ نقاط چندضلعى در یک طرف آن خط واقع شوند. هر چندضلعی را كه محدب نباشد، مقعر مى نامند.

  • تعداد قطر های n ضلعی محدب برابر است با n×(n-3)/2

انواع چهارضلعی های خاص

متوازی الاضلاع

متوازى الاضلاع چهارضلعى اى است كه، هر دو ضلع مقابل آن موازى باشند.

خواص متوازی الاضلاع

  1. اضلاع مقابل با هم مساوی اند.
  2. زاویه های مقابل با هم مساوی اند.
  3. زاویه های مجاور،مکمل اند.
  4. قطر ها منصف یکدیگر اند.

هرگاه یک چهار ضلعی یکی از ویژگی های زیر را داشته باشد متوازی الاضلاع است:

  1. هر دو ضلع مقابل برابر باشند.
  2. هر دو زاویه مقابل برابر باشند.
  3. هر دو زاویه مجاور مکمل باشند.
  4. قطرها یکدیگر را نصف كنند.
  5. دو ضلع مقابل آن هم اندازه و موازى باشند.
  • از تقاطع نیمساز های داخلی متوازی الاضلاع یک مستطیل پدید می اید.

مستطیل

متوازی الاضلاعی كه یک زاویه قائم دارد. (در نتیجه تمام زوایای مستطیل برابر 90 درجه هستند.)

خواص مستطیل

  1. هر چهار ضلعی كه چهار زاویه قائمه داشته باشد یک مستطیل است.
  2. در مستطیل قطرها با هم برابرند.
  3. متوازی الاضلاعی كه قطر هایش برابر باشند یک مستطیل است.
  4. از تقاطع نیمساز های داخلی یک مستطیل یک مربع پدید می اید.
  • اگر طول و عرض مستطیل a و b باشد،طول ضلع این مربع برابر است با: 

لوزی

لوزى چهارضلعى اى است كه هر چهار ضلع آن هم اندازه باشند.

خواص لوزی

  1. قطر ها متعامدند.
  2. قطرها نیمساز زوایا هستند.
  • هر كدام از خواص فوق در یک متوازی الاضلاع موجود باشند، آن متوازی الاضلاع یک لوزی است.
  • در لوزی، قطرها عمود منصف یکدیگر اند و قطرها روی نیمساز زوایا قرار دارند.
  • متوازی الاضلاعی كه قطرهای آن بر هم عمود باشند، لوزی است.
  • متوازی الاضلاعی كه در ان حداقل یک قطر روی نیمساز یک زاویه آن باشد، لوزی است.

مربع

مربع چهارضلعى اى است كه هر چهار ضلع آن هم اندازه و حداقل یک زاویۀ آن (و در نتیجه تمام زوایای آن) قائمه باشد. مربع را به روش های دیگر نیز می توان تعریف کرد. مستطیلی كه اضلاع برابر دارد. همینطور لوزی ای كه یک زاویه قائمه دارد.

ذوزنقه

ذوزنقه چهارضلعى اى است كه فقط دو ضلع آن موازى باشند. (به این دو ضلع، قاعده می گوییم.)

  • مساحت ذوزنقه برابر است با نصف مجموع دو قاعده، ضرب در ارتفاع.
  • زوایای مجاور به یک ساق ذوزنقه مکمل هم هستند.

ذوزنقه متساوی الساقین

ذوزنقه ای كه ساق هایش باهم برابر باشند را ذوزنقه متساوی الساقین می گوییم.

  • دو زاویه مجاور به یک قاعده با هم برابرند.
  • قطر ها با هم مساوی اند.
  • هر ذوزنقه ای كه یکی از دو خاصیت فوق را داشته باشد، متساوی الساقین است.

ذوزنقه قائم الزاویه

هرگاه در یک ذوزنقه یک ساق بر یکی از قاعده ها عمود باشد،لزوما بر قاعده دیگر نیز عمود است.این نوع ذوزنقه را ذوزنقه قائم الزاویه می نامند.

تعداد سؤالات تعداد گزینه‌ها نمره‌ی منفی؟ مدت زمان آزمون (دقیقه) قیمت آزمون تاریخ ایجاد
22 4 دارد 75 رایگان 1399/02/11